Le développement de (a+b)n pour les valeurs de n correspondant aux exposants des sinus et des cosinus à linéariser : Rappel : les coefficients des n+1 termes du développement de (a+b)n se retrouvent grâce au triangle de Pascal, ou directement avec la formule du binôme de Newton. %�쏢 Une page entière du site Gecif.net est consacrée au principe de l'intégration d'une fraction rationnelle par décomposition en éléments simples. Pour cela on développe la formule d'Euler élevée à la puissance 6 : Les deux exposants sont pairs donc on linéarise. En effet, en consultant la table des primitives on sait que : Effectuons donc la transformation suivante : a et b sont deux constantes réelles qu'il nous faut déterminer. Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées Calculer les fonctions dérivées dans tous les cas suivants. et de calcul de primitives, 50 exercices corrigés de niveau BAC à BAC+2, + 50 exercices supplémentaires pour vous entraîner. Exemple 1 : quelle est la primitive de la fonction suivante ? Voyons ici quelques exemples complémentaires à ceux exposés dans l'article sur l'IPP (Intégration Par Parties) : On en déduit u (la primitive de u') et v' (la dérivée de v) : Rappel de la formule de l'intégration par parties : Et en appliquant la formule de l'intégration par parties on obtient : Remarque : 1+x2 est forcément positif, d'où l'absence du symbole de valeur absolue dans le logarithme népérien. Comme pour tous les articles mathématiques du site Gecif.net la vulgarisation mathématique permet ici d'expliquer avec des mots et des notions simples (de niveau BAC) des résultats qui demandent en principe un niveau bien supérieur. En effet, la recherche d'une primitive consiste entre autre à "reconnaître" une dérivée. Ce qui nous conduit à la primitive recherchée : A voir aussi : une primitive similaire est traitée en haut de cette page, mais par identification : Exemple 8 : quelle est la valeur numérique exacte de l'intégrale I suivante ? Et en utilisant la dérivée du quotient de deux fonctions u et v on sait que : On en déduit alors directement la primitive recherchée : ... Il suffit alors de la dériver puis d'identifier les coefficients du résultat avec la fonction d'origine. S'agissant d'intégrer une fonction composée, on pourait très bien effectuer le changement de variable u=ln(x) suivi d'une double intégration par parties. Pour calculer cette primtive nous allons enchaîner 2 techniques : Effectuons le changement de variable suivant : Après ce changement de variable l'intégrale prend une forme classique qui se calcule par intégration par parties : Procédons à une double intégration par parties, en intégrant eu à chaque fois : Et en revenant à la variable x nous obtenons : Oublions d'entrée la linéarisation et l'intégration par parties. Mais afin d'enrichir la palette des techniques d'intégration je vais donner ici une nouvelle piste. Il est inutile ici de partir dans une linéarisation. Si vous vous êtes confectionné une table des primitives contenant les dérivées et primitives de fonctions complexes vous pouvez rapidement calculer une intégrale compliquée par simple consultation de votre table. Il est encore inutile de partir dans un changement de variable ou une décomposition quelconque. Si on effectue le changement de variable u=sin(x) on trouvera une 3ème primitive contenant des sink(x), et si on linéarise en utilisant les formules d'Euler on trouvera une 4ème primitive différente, linéarisée dans ce dernier cas (ce qui n'est pas le cas des 3 autres primitives trouvées). La décomposition en éléments simples sera donc bien utile pour trouver les primitives de la forme suivante : Appelons R(x) la fraction rationnelle présente dans l'intégrale : Quelques précisions sur la fraction rationnelle R(x) : Quelques remarques élémentaires sur l'intégration de la fraction rationnelle R(x) : La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle s'écrit : Mettons au même dénominateur la forme décomposée : Identifions les coefficients des numérateurs : On trouve alors la décomposition en éléments simples suivante : Appelons R(x) la fraction rationnelle à intégrer : Les pôles de R(x), c'est-à-dire les racines de Q(x), sont les réels 2 et 3. La décomposition en éléments simples de f(x) sera donc de la forme suivante : Il nous faut maintenant déterminer la valeur des 3 constantes a, b et c : Nous obtenons donc la décomposition en éléments simples suivante pour la fraction rationnelle R(x) : En remarquant que la dérivée de x2-2.x+2 est 2.

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