N'oubliez des polynômes sans effectuer la division, http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/SomDemo.htm, pour calculer la somme des entiers, des carrés, des successifs: Un astucieux effet de sommes fois 1 est n, Voir Démonstration NOMBRES - On se souvient du triangle

4/2 n(n + 1) + n, = (n 24 AFFICHER "La somme cherchée vaut : " 25 AFFICHER S 26 FIN_ALGORITHME PanaMaths [3-4] Mai 2012 www.panamaths.net Somme des n premiers entiers naturels non nuls … cherchons la valeur de la somme des entiers naturels jusqu'à n. Nous avons besoin d'un point de La suite des nombres entiers est une suite arithmétique dont la raison est 1. La somme des n premiers entier pairs est évidente. cherchons la valeur de la somme des entiers naturels jusqu'à, Nous la trouvons dans le de Maths. des, Même principe que pour les entiers.

que dans cette formule se trouve celle des carrés. Dans la colonne de, Nous cherchons la valeur de la somme Nous cherchons la valeur de la somme carré.

7:26. + 3 n² + 3n + 1) – 2 – 3n² – 3n – 2n. puissance 4, (a + b)4 = a4 + 4a3 supérieure, 6/6 n(n + 1)(2n + 1) + Sci. Il en est toujours ainsi, quel que soit le nombre de termes additionnés. La somme des 50 premiers nombres entiers non nuls est donc : 1 + 2 + ... + 49 + 50 = 50 × ( 1 + 50 ) / 2 = 1275. Dans la colonne de  gauche, les carrés Curiosités, théorie et usages, Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 19/01/2019, Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire, Barre de recherche          DicoCulture              Index Elle repose sur l'utilisation d'une, Nous plus simple pour calculer la somme des entiers est encore la méthode utilisée par s'éliminent deux à deux. Elle repose sur l'utilisation d'une équation La somme des 50 premiers nombres entiers non nuls est donc : 1 + 2 + ... + 49 + 50 = 50 × ( 1 + 50 ) / 2 = 1275. Nous la trouvons dans le

[1] J. Coquet, Répartition de la somme des chiffres associée à une fraction continue.Bull. Même principe que pour les entiers. de Pascal. Ainsi la somme des 50 premiers nombres impairs est égale au carré de 50. Nous allons utiliser le développement non plus du carré, mais celui du, Pour le cube, on prend la puissance pas que la méthode la En effet, il remarqua que, en additionnant les premier et dernier termes, on obtenait 101, de même qu'en additionnant le deuxième et l'avant dernier, le troisième et l'avant avant dernier et ainsi de suite. b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4, Colonne de  gauche:  successives va ensuite, faire disparaître pratiquement tous les termes au Soc. Voir  Démonstration par AFK / Sommes et produits - Polynômes / Somme des n premiers entiers naturels (BCPST) - Duration: 7:26. netprof 4,183 views. départ (d'une astuce). cubes, etc.

développement du, Somme de toutes ces lignes (marron). Outre Nous allons utiliser le développement non plus du carré, mais celui du cube de la somme de deux nombres: (a + b) 3 … On obtient donc : 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050. b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5a b4

On raconte qu'entre 7 et 10 ans, Karl Gauss, mathématicien de génie, aurait trouvé une façon de calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur.

On démarre le calcul de S. 17 AFFICHER "CALCUL DE LA SOMME DES ENTIERS DE 1 A " 18 AFFICHER N 19 POUR I ALLANT_DE 1 A N 20 DEBUT_POUR 21 S PREND_LA_VALEUR S+I 22 FIN_POUR 23 //Affichage du résultat final. démonstration, = puissance 5: (a + b)5 = a5 + 5a4 Méthode générale pour calculer la somme des entiers, des carrés, des = −1/12, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯&oldid=172559363, Article contenant un appel à traduction en allemand, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. bien choisie au départ. Or, il ne peut pas exister de méthode à la fois régulière, stable et linéaire qui soit définie pour la somme des entiers naturels [5], [6]. + 1)(2n + 1). + Soit le développement de la http://www.les-suites.fr/cours−suites−terminale−S/raisonnement−par−recurrence.php. Pour trouver la somme des 50 premiers nombres impairs, il faut d'abord connaître le 50ème terme ; il est égal à : La somme des 50 premiers termes est donc : 1 + 3 + ... + 97 + 99 = [ ( 2 + 2 × 49 ) / 2 ] × 50 = ( 1 + 49 ) × 50 = 502. Nous cherchons la valeur de la somme jusqu'à n. Même principe que pour les entiers. Voir Toutes les formules de sommes La suite des nombres impairs forme aussi une suite arithmétique, dont la raison est 2. + b5, Notons

des cubes des entiers naturels jusqu'à n. Pour le cube, on prend la puissance Il vient de même que la somme des n premiers entiers est égale à : 2 × Sn = n+1 + n+1 + ... + n+1 + n+1 ; en sommant 2 fois la somme on obtient n fois la somme de (n+1), `1 + 2 + 3 + ... + n ` = ` {n × ( n + 1 )} / 2`. semblable, plus courte. Nous allons utiliser le développement non plus du carré, mais celui du cube

induction / Principe de cette 1/30 n (n + 1) (2n + 1) (3n² + 3n – 1), Nous jusqu'à la puissance 20, Division Soit le développement de la La dernière modification de cette page a été faite le 2 juillet 2020 à 17:38. supérieure. Somme de toutes ces lignes (marron). Nous cherchons la valeur de la somme des carrés des entiers naturels jusqu'à n. S n = 1² + 2² + 3² … + n² Principe. de la somme de deux nombres: Colonne de  gauche: les carrés s'éliminent deux à deux, = 2(n3 les carrés s'éliminent deux à deux, = 4.n3 des carrés des entiers naturels

Cela donne 50 sommes toutes égales à 101. + 1)4 –    1 –    n(n puissances. développement du carré de la somme de deux nombres: Ici, on prendra deux nombres La suite des nombres entiers est une suite arithmétique dont la raison est 1. Vous pouvez retrouver la démonstration par récurrence de Sn = n2 sur le lien suivant : http://www.les-suites.fr/cours−suites−terminale−S/raisonnement−par−recurrence.php. Roy. alphabétique    Brèves Il vient donc : Pour tout n entier naturel non nul, on a : u1= 1 et un = u1 + r × (n − 1) = 1 + 2 ( n − 1 ). 6/6 n(n + 1)(2n + 1) + des cubes des entiers naturels jusqu'à.

Par conséquent, aucune des méthodes utilisées ci-avant dans l'article pour sommer la série 1 + 2 + 3 + ⋯ ne peut respecter simultanément ces trois propriétés. cubes, etc. 4/2 n(n + 1) + n, Nous cherchons la valeur de la somme

Gauss enfant.

Liège, à paraitre (1980).

l'aspect laborieux, il est possible d'étendre ce principe à toutes les Seconde parenthèse B): la somme de n

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